Un arrendador de local ¿debe presentar el modelo 390?

No. Deberá marcar "SI" en las casillas correspondientes del formulario del modelo 303:

¿Está exonerado de la Declaración-resumen anual del IVA, modelo 390?

Asimismo, deberá cumplimentar el apartado específico “Exclusivamente a cumplimentar en el último período de liquidación por aquellos sujetos pasivos que queden exonerados de la Declaración-resumen anual del IVA”.